Huhu,
meine Bank hat auch eine Bürgschaft für mich übernommen, da ich für Kaution kein Geld über hatte. Die achten eher darauf, was du verdienst und wie hoch die Kaution ist, bei mir waren es 600 Euro, haben die Problemlos gemacht. Allerdings: diese Bürgschaft bei der Bank kostet dich alle 3 Monate 10 Euro, also 40 Euro im Jahr (hängt aber auch von der Höhe der Kaution ab), während dein Vermieter für die Kaution extra ein Sparbuch anlegen muss. Dafür bekommst du dann sogar noch Zinsen.
Also wäre demzufolge nach Variante 1 die bessere, sagte mir die Sparkasse damals auch
Normalerweise solltest du aber auch mittendrin noch wechseln können, falls du das Geld für die KAution doch noch mal über haben solltest.