0,9 Periode = 1 ?

21.03.2008, 14:24 #1

Hallo Leute,

habe gerade was Interessantes gefunden, man könnte es als Mathematischen Paradoxon bezeichnen.

Ich verwende hier ... als Symbol für die Periode.

wir wissen ja das 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1 ist. Anders geschrieben sieht es so aus

0,33... + 0,33... + 0,33... = 0,99... also nicht 1.

(1) a = 0.999.....
dann gilt
(2) 10a = 9.99.....
daraus folgt:
(2)-(1) 9a = 9
und dann sieht jeder das
1 = a = 0.999.....

Schreibt doch mal eure Meinung dazu ...

21.03.2008, 14:43 #2

Ja, scheint schon zu stimmen... Das ganze kann man aber auch einfacher schreiben:

1/3 = 0,333... | Gleichung mit 3 multiplizieren

1 = 0,999...

aber in der Mathematik rechnet man ja im allgemeinen nicht mit periodischen Zahlen, sondern verwendet - wahrscheinlich unter anderem aus diesem Grund - die Bruchrechnung.

21.03.2008, 14:44 #3

0,33... + 0,33... + 0,33... = 0,99... also nicht 1.

Das ist schon mal falsch. Man kann "unendliche" (also periodische) Zahlen einfach nicht in dezimalschreibweise addieren oder subtrahieren. Insofern ist auch die zweite Rechnung so nicht schreibbar.

1/3 = 0,333... | Gleichung mit 3 multiplizieren

1 = 0,999...

Eben nicht, weil 3x 0,333... eben 1 ergibt. Ihr geht davon aus, die Zahl sei endlich - ist sie aber nicht!

Die Sache ist die, dass 2 reelle Zahlen nur dann verschieden sind, wenn eine andere zwischen ihnen liegt (0,1 und 0,2 sind verschieden, weil z.b. 0,15 dazwischen liegt). Zwischen 0,9... und 1 steht nix, insofern sind sie an sich identisch. Insofern ist das alles ein Sonderfall und so nicht rechenbar ^^

21.03.2008, 14:53 #4

Nö. Wenn du drei mal die Zahl 0,333... untereinander schreibst... (rein hypothetisch) dann kommt unter dem additionsstrich immer 0,999... raus. egal wieviel stellen man an die 0,333... hängt, desto länger wird eben die 0,999...

Aber wo ist denn überhaupt das Problem bei der Sache? Diese schreibweise ist ja vollkommen unüblich, und man würde sowieso gleich mit 1/3 rechnen.

edit:

Zwischen 0,9... und 1 steht nix, insofern sind sie an sich identisch.

eigentlich haben wir ja auch nix anderes behauptet

21.03.2008, 14:57 #5

Zitat von baedr

Nö. Wenn du drei mal die Zahl 0,333... untereinander schreibst... (rein hypothetisch) dann kommt unter dem additionsstrich immer 0,999... raus. egal wieviel stellen man an die 0,333... hängt, desto länger wird eben die 0,999...

Eben nicht, weil es nicht möglich ist, die zahlen untereinander zu schreiben --> unendlich. Bei endlichen Zahlen mag das gehn, aber unendliche kann man nicht schriftlich sddieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren oder sonst was!

Aber wo ist denn überhaupt das Problem bei der Sache? Diese schreibweise ist ja vollkommen unüblich, und man würde sowieso gleich mit 1/3 rechnen.

Eben

21.03.2008, 14:57 #6

Periodische Zahlen werden ja generell mit x/9 dargestellt.
Also:
7/9 = 0,7777....
etc pp.
1/3 = 3/9 = 0,999...

und 0,999... ?
ja das sind 9/9

21.03.2008, 15:02 #7

0.33... + 0.33... + 0.33... = 1
0.33... == 1/3.
von daher seh ich da jetzt kein Problem.

21.03.2008, 15:03 #8

nach der logik kann man auch durch 0 teilen, du näherst dich der eins eigentlich nur mit 0,9 Periode an, erreichst die eins jedoch NIE. 0.33... + 0,33... + 0,33... fehlt immer irgendwo der kleine schritt zur 1.

21.03.2008, 15:03 #9

Hmm... ja also ich bleib dabei

0,999... = 1

Wenn irgendjemand sagt, das sei was anderes, dann soll er es beweisen

edit: http://de.wikipedia.org/wiki/Periodi...odische_Zahlen

21.03.2008, 15:07 #10

Zitat von OrionX

nach der logik kann man auch durch 0 teilen, du näherst dich der eins eigentlich nur mit 0,9 Periode an, erreichst die eins jedoch NIE. 0.33... + 0,33... + 0,33... fehlt immer irgendwo der kleine schritt zur 1.

doch, im grenzfall erreichst du sie schon.

das ist genauso mit dem hasen, der mit der schildkröte n wettrennen macht... die schildkröte bekommt 10m vorsprung. der hase ist 10mal schneller als die schildkröte.

1. die schildkröte läuft 1m, ist bei 11m - der hase ist bei 10m
2. die schildkröte läuft 10cm, ist bei 11,10m - der hase ist bei 11m
3. die schildkröte läuft 1cm, ist bei 11,11m - der hase ist bei 11,1m
etc pp

scheinbar überholt der hase nie die schildkröte

21.03.2008, 15:16 #11

Zitat von distressed

Periodische Zahlen werden ja generell mit x/9 dargestellt.

Hö??? Das hör ich grad zum ersten mal... Wie willst du alle periodischen zahlen mit Neuntel darstellen können?!?

Ich glaube, ein großes Problem ist, dass viele denken, Mathematik sei immer 100%ig logisch. Ist sie aber nicht, genausowenig wie Wissenschaft generell. Dort gilt: eine Theorie gilt solange als wahr, bis es einen Gegenbeweis gibt. Nicht mehr und nicht weniger.

Beispiel 1: x^0 = 1, egal was x ist. Man hat also eine Zahl, multipliziert diese null mal mit sich selbst und bekommt immer 1, selbst bei 0^0! Logik? Nein - wurde lediglich irgendwann einmal festgelegt!

Beispiel 2: Man kann definieren, dass sich 2 Parallelen im Unendlichen schneiden. Logik? Nein - lediglich eine Sache der Definition (die euklidische Geometrie umfasst lediglich endliche Punkte).

Vieles ist einfach nur Definitionssache!

21.03.2008, 15:28 #12

x^0 = 1

Naja, es bietet sich einfach an:

Potenzzahlen mit gleicher Basis werden dividiert, wenn man die exponenten subtrahiert:

x^2 / x^2 = x^0 = 1

Logisch ist das nicht wirklich, aber warum sollte man es nicht so definieren, dass möglichst alle anderen Regeln unberührt bleiben.

genauso gilt ja

2 * 0,333... = 0,666...

obwohl man sie nicht untereinanderschreiben kann. Warum sollte es dann bei

3* 0,333...

anders sein?

21.03.2008, 15:49 #13

mike hat schon recht mit dem "dazwischen stehen". es gilt tatsächlich 0,999-periode = 1. das liegt einfach am dezimalsystem bzw. daran dass dezimalbrüche wenig erschöpfend sind aufm zahlenstrahl. wer mal ein wenig höhere mathematik machen durfte wird solche denkweisen schnell einverleibt bekommen. seid froh dass ihr nicht mit "maschinenzahlen" rechnen müsst. die sind nämlich noch wesentlich unzulänglicher als die dezimalbrüche.

was in der mathematik so festgelegt wird hat teilweise evtl. sogar mehr hintergrund als man eigentlich erfasst. ein paar komplizierte beweise (speziell in hinblick auf die mengenlehre) führen meines wissens nach völlig logisch zu x^0 = 1. ich habs aber nicht mehr im kopf wie wir darauf gekommen sind. muss man auch nicht... reicht zu wissen dass die mathematik eigentlich oft anders aussieht als das was man in der normalen schule darunter versteht.

21.03.2008, 16:02 #14

Zitat von MiKe

Hö??? Das hör ich grad zum ersten mal... Wie willst du alle periodischen zahlen mit Neuntel darstellen können?!?

ganz einfach:
7/9 sind 0,777...
25/99 sind 0,2525252525...
123/999 sind 0,123123...
etc pp

(so haben wir das auch in der Schule schon gelernt...)

21.03.2008, 16:03 #15

Ein Mathelehrer von mir meinte mal "Wenn ich x würfel habe und würfle 0 mal, dann gibt's nur eine Möglichkeit, was passiert - nämlich nix"

21.03.2008, 16:15 #16

Wenn ich x würfel habe und würfle 0 mal, dann gibt's nur eine Möglichkeit, was passiert - nämlich nix

Null mal x ist ja auch null, das bestreitet ja niemand...

Aber wenn ich jetzt 10 euro anlege, bei nem zinssatz von 5% dann hab ich

nach einem jahr 10€ * 1,05^1
nach zwei jahren 10€ * 1,05^2

und wenn ichs 0 Jahre anlege, hab ich eben

10€ * 1,05^0 = 10 €

21.03.2008, 16:26 #17

Zitat von baedr

Null mal x ist ja auch null, das bestreitet ja niemand...

Bei Wahrscheinlichkeiten wird auch nicht multipliziert

21.03.2008, 16:33 #18

Bei Wahrscheinlichkeiten wird auch nicht multipliziert

Kommt drauf an, was man ausrechnen möchte

Das insgesamt 0 Würfel fallen, stimmt auf jeden fall schonmal.

21.03.2008, 17:53 #19

also, das sind erkenntnisse hier...
ich äußere mich dazu lieber nicht.

wenn man auf jede zahl einen deckel packt..
der erste 0,1 cm groß, der zweite 0,01 cm groß, der dritte 0,001 cm groß und so weiter und anschließend alle zahlen aneinander legt, sind sie zusammen 1/9cm lang.

##
lala.

26.03.2008, 01:52 #20

Wenn Zähne, Zähne hätten, hätten wir in unserem Mund unendlich viele Zähne

26.03.2008, 06:09 #21

Stimmt da gabs ja noch so ne seltsame Wissenschaft mit Zahlen.

Ich glaube ich hatte ein Kindheitstrauma in der ersten Klasse mit Mathematik, das es mir irgendwie fuer immer unmoeglich gemacht hat mein Mathematikverstaendnis ueber Realschulniveau hinauszuentwickeln.

Heute koennte ich nichtmal richtig Wechselgeld rausgeben wenn mein Leben davon abhinge.

Das erinnert mich jetzt irgendwie spontan an Jonaz und Clay im Rockstueble.

28.03.2008, 19:48 #22

raaaaaaa....!!!!

besorgt euch ein leben..!!!

sorry das musste raus. mensch !!! das sind zahlen!!!

05.05.2008, 22:03 #23

Achja. Da ich grad zufällig auf das Thema hier stosse. Das "Problem" wurde schon vor mehreren Jahren von einer Schülerin aus Essen an einen Mathematik Professor gesendet und selbst der ist daran verzweifelt. Im Gegenzug erhält die Schülerin einen Preis.

Spiegel.de

05.05.2008, 22:47 #24

Naja verzweifelt ist der daran nicht, sondern nur an dem Problem, dies einer 6.-Klässlerin beizubringen

Aber wirklich selten, dass ein 12-jähriges Kind so eine Frage stellt.

05.05.2008, 23:34 #25

ist ja auch eine unlogik der mathematik, wenn man da mal laienhafter rangeht als professoren das tun

man lernt das 1 ungleich 2 ist aber 0,99999~ soll 1 sein, ganz simpel betrachtet schon ziemlich unlogisch.

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